Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg

a) Die Funktionen $f$ und $g$ seien gegeben durch

$$f(x) = x^3 - 6\cdot x^2 + 3\cdot x + 10,\quad x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x) = -6\cdot x + 10,\quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren.

(2)

Einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$ ist $P(3 \mid f(3))$. Zeigen Sie, dass der Graph von $g$ im Punkt $P$ den Graphen von $f$ als Tangente berührt.

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 3\cdot x^2 - 12,\quad x \in \mathbb{R}.$$

(i)

Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

(ii)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ und die $x$-Achse miteinander einschließen.

c)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie: $f'(x) = x \cdot (x + 2) \cdot e^x$.

(2)

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $f$ sowie deren Art (z. B. mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums).

d)

Betrachtet werden die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ und die Gerade $h$, die durch die Punkte $A(4|0|0)$ und $B(5|1|b)$ verläuft, wobei $b$ eine reelle Zahl ist.

(1)

Begründen Sie, dass der Punkt $A$ kein Punkt der Geraden $g$ ist.

(2)

Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich in einem Punkt.

Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $b$.

Es seien die Punkte $A(-1|3|2)$, $B(1|2|4)$ und $C(2|4|-1)$ vorgegeben.

(1)

Untersuchen Sie, ob im Dreieck $ABC$ am Punkt $A$ ein rechter Winkel vorliegt.

(2)

Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $A$ und $B$.

Auf $g$ liegen die Punkte $P$ und $Q$, die jeweils $9\text{ LE}$ von $A$ entfernt sind.

Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p\colon x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q\colon x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Es existiert genau ein Punkt, den die Graphen von $p$ und $q$ gemeinsam haben, und dieser liegt auf der $y$-Achse. Außerdem gilt für die erste Ableitungsfunktion von $q$ die Beziehung $q'(x) = -q(x)$.

(1)

Beschreiben Sie, durch welche Transformation sich der Graph von $q'$ aus dem Graphen von $q$ ergibt.

(2)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine Tangente teilen, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p\colon x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q\colon x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Es existiert genau ein Punkt, den die Graphen von $p$ und $q$ gemeinsam haben, und dieser liegt auf der $y$-Achse. Außerdem gilt für die erste Ableitungsfunktion von $q$ die Beziehung $q'(x) = -q(x)$.

(3)

Geben Sie an, welchen Wert das Integral $\int_{0}^{2} (q(x)-p(x))\,\mathrm{d}x$ hat, und interpretieren Sie dieses Ergebnis geometrisch.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h\colon x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

(1)

Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das vom Graphen von $h$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

FE

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h\colon x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

(2)

Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ sowie den Abstand der Extrempunkte.

LE

FE

%

Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w\colon x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

(1)

Es gilt $w(x) \to c$ für $x \to \infty$.

Geben Sie den Wert von $c$ an und geben Sie an, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w\colon x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

(2)

Bestimmen Sie diejenigen Stellen, an denen die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0;10]$ übereinstimmt.

(3)

Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate zu dem Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, an dem die Rate am stärksten sinkt.

Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w\colon x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

(4)

(i)

Bestimmen Sie, welche Wassermenge innerhalb der ersten zwei Sekunden nach Beginn der Beobachtung die Messstelle passiert.

(ii)

Während eines Zeitraums von drei Sekunden passieren dreizehn Kubikmeter Wasser die Messstelle.

Berechnen Sie, welche Zeiträume dafür möglich sind.

s bis ca.

s

s bis ca.

s

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Der Wendepunkt ihres Graphen $G_f$ ist $(0|0)$.

a) (1)

Begründen Sie, dass der Graph $G_f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt verläuft.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen $G_f$ die Koordinatenachsen schneidet.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Der Wendepunkt ihres Graphen $G_f$ ist $(0|0)$.

a) (2)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_{-b}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$, $b \in \mathbb{R}, b > 0$, und erklären Sie das Ergebnis.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Der Wendepunkt ihres Graphen $G_f$ ist $(0|0)$.

a) (3)

Der Graph $G_f$ besitzt zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass es sich bei einem davon um einen Tiefpunkt handelt, dessen $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ beträgt.

a) (4)

Bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente $t$, die $G_f$ im Punkt $P(6 \mid f(6))$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t\colon y = \frac{8}{3}x - 16$]

a) (5) (i)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der von $G_f$ und $t$ begrenzt wird.

a) (5) (ii)

Die $y$-Achse teilt die Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, in zwei Teilflächen.

Ermitteln Sie, welchen Anteil die linke Teilfläche an der gesamten von $G_f$ und $t$ eingeschlossenen Fläche hat.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Der Wendepunkt ihres Graphen $G_f$ ist $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ werden durch drei Schritte neue Graphen gebildet. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich ihre Reihenfolge ist variabel. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten entstanden ist.

b)

Geben Sie an, wie viele unterschiedliche neue Graphen sich ausgehend von $G_f$ auf diese Weise erzeugen lassen. Begründen Sie Ihre Angabe. [4 Punkte]

Durchläuft $G_f$ die drei Schritte in der genannten Abfolge, ergibt sich der Graph der in Aufgabe c) untersuchten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x - 6) \cdot (x - 12) + 14$$

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die in Monaten gemessene Zeit, die seit einem festgelegten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

c)

(1) Ermitteln Sie, über welchen Zeitraum eines Jahres die Tagesdurchschnittstemperatur an diesem Ort oberhalb von $15^\circ\text{C}$ liegt.

Durchläuft $G_f$ die drei Schritte in der genannten Abfolge, ergibt sich der Graph der in Aufgabe c) untersuchten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x - 6) \cdot (x - 12) + 14$$

In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die in Monaten gemessene Zeit, die seit einem festgelegten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

(2)

Geben Sie die Wendestelle von $g$ an.

Beschreiben Sie, was diese Wendestelle für den zeitlichen Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur bedeutet.

(3)

Die folgenden Rechnungen stellen zusammen mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe aus einem Sachzusammenhang dar:

$$g'(x) = 0 \iff x = 6 - \sqrt{12} \;\lor\; x = 6 + \sqrt{12}$$

$$g(6 + \sqrt{12}) - g(6 - \sqrt{12}) \approx 6{,}2$$

Geben Sie eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den gezeigten Lösungsweg.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Der Wendepunkt ihres Graphen $G_f$ ist $(0|0)$.

(4) Abbildung 2 zeigt modellhaft, wie sich die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres entwickelt.

(i)

Begründen Sie, weshalb eine ganzrationale Funktion, die den in Abbildung 2 gezeigten Verlauf modelliert, mindestens vom Grad 4 sein sollte.

Zur Modellierung des Verlaufs dient eine ganzrationale Funktion $h$ mit $$h(x) = a\cdot x^4 + b\cdot x^3 + c\cdot x^2 + d\cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\quad a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$ Dabei beschreibt $x$ die Zeit in Monaten, die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangen ist, und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C.

(ii)

Die Modellierung mit der Funktion $h$ soll die folgenden Bedingungen erfüllen:

Die geringste Tagesdurchschnittstemperatur liegt bei $x = 1$ vor, die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^\circ\text{C}$ liegt bei $x = 7$ vor. Bei $x = 10{,}5$ nimmt die Tagesdurchschnittstemperatur mit einer Rate von $-4{,}2^\circ\text{C}$ pro Monat am schnellsten ab.

Stellen Sie anhand dieser Bedingungen ein Gleichungssystem auf, mit dem $a$, $b$, $c$, $d$ und $e$ berechnet werden können.

[Die Werte müssen nicht berechnet werden.]

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

Bei $A_1A_2A_3A_4$ handelt es sich um ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt. [1 Punkt]

a) (2)

Begründen Sie, dass es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie den Rauminhalt des Körpers $K$. [4 Punkte]

a) (3)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}$ einschließen. [2 Punkte]

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, das ein Architekturbüro für die Planung eines neuen Hotels aus drei gleichförmigen Gebäuden verwendet (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof umschließen. Im Modell befindet sich dieser Innenhof in der $x_1x_2$-Ebene.

In Abbildung 3 daneben ist das Hotelmodell in der Draufsicht dargestellt.

Teilaufgabe b)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

b) (1)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes $P$. [4 Punkte]

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot \sqrt{75}}{3} \,\middle|\, 0 \,\middle|\, 0\right) \approx P(-5{,}77 \mid 0 \mid 0)$.]

b) (2)

Berechnen Sie, wie weit $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$ entfernt ist. [2 Punkte]

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

Bei $A_1A_2A_3A_4$ handelt es sich um ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

c)

(1)

Begründen Sie, dass $$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -40 \\ 10 \\ 30 \end{pmatrix}, \quad r, s \in \mathbb{R},$$

diejenige Ebene beschreibt, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

(2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0|0|35)$. Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung $$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

$Q($

$|$

$|$

$)$

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Mitarbeitende eines Tourismusinstituts befragten repräsentativ 10 000 Personen einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Sämtliche folgenden Aussagen und Aufgaben betreffen diese Region.

Für jede Urlaubsreise füllten die Befragten einen Fragebogen aus, in dem unter anderem erfasst wurde, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gefahren waren.

Es zeigte sich: 26 % der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen), wobei in 16 % dieser Fälle die Anreise mit der Bahn erfolgte. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) wurde in 10 % der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt.

Die genannten Prozentwerte sollen im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse gelten.

a)

(1)

Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm mit Beschriftung dar.

(2)

Für eine Urlaubsreise im Jahr 2019 wurde die Bahn als Verkehrsmittel zur Anreise gewählt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Reise eine Inlandsreise war.

[3 + 2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Mitarbeitende eines Tourismusinstituts befragten repräsentativ 10 000 Personen einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Sämtliche folgenden Aussagen und Aufgaben betreffen diese Region.

Für jede Urlaubsreise füllten die Befragten einen Fragebogen aus, in dem unter anderem erfasst wurde, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gefahren waren.

Es zeigte sich: 26 % der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen), wobei in 16 % dieser Fälle die Anreise mit der Bahn erfolgte. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) wurde in 10 % der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt.

Die genannten Prozentwerte sollen im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse gelten.

b) Die Befragung wird erweitert: Es werden 20 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen zufällig herausgegriffen, damit mit den jeweiligen Befragten Interviews geführt werden können.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele der 20 Urlaubsreisen Inlandsreisen sind.

(1)

Erläutern Sie, weshalb sich $P(X = k)$ für $0 \leq k \leq 20$ näherungsweise mithilfe einer Binomialverteilung berechnen lässt.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind.

(3)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Inlandsreisen unter den 20 Urlaubsreisen innerhalb der $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt.

c) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Fragebögen, die ausgewählt werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens fünf dieser Fragebögen eine Auslandsreise angeben.

Aufgabenstellung:

Mitarbeitende eines Tourismusinstituts befragten repräsentativ 10 000 Personen einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Sämtliche folgenden Aussagen und Aufgaben betreffen diese Region.

Für jede Urlaubsreise füllten die Befragten einen Fragebogen aus, in dem unter anderem erfasst wurde, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gefahren waren.

Es zeigte sich: 26 % der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen), wobei in 16 % dieser Fälle die Anreise mit der Bahn erfolgte. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) wurde in 10 % der Fälle die Bahn zur Anreise genutzt.

Die genannten Prozentwerte sollen im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse gelten.

d) Im Institut für Tourismus vermutet das Team, dass der Anteil der Inlandsreisen in der Region 2022 höher ausfällt als 2019.

Um dies zu untersuchen, hält das Team bei 100 Reisen aus dem Jahr 2022 fest, ob diese ins Inland oder ins Ausland führten.

Sind mindestens 34 der Reisen Inlandsreisen, nimmt das Team an, dass der Anteil der Inlandsreisen gestiegen ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Team irrtümlich einen gestiegenen Anteil der Inlandsreisen annimmt, obwohl dieser gleich geblieben ist.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Team einen unveränderten Anteil der Inlandsreisen annimmt, obwohl dieser in Wirklichkeit auf $30\,\%$ gestiegen ist.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende befestigt.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

a)

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$ beschrieben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Brückenfahrbahn 640 m beträgt.

(2)

Im Modell lässt sich der Verlauf des Abspannseils auch im linken Brückenabschnitt mithilfe eines Funktionsterms darstellen.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende befestigt.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

a)

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$ beschrieben.

(4)

Untersuchen Sie durch eine Rechnung, ob die Steigung des rechten Abspannseils an der Stelle, an der es auf den zugehörigen Pfeiler trifft, einen Wert zwischen $-0,7$ und $0,7$ hat.

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende befestigt.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

a)

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$ beschrieben.

(5)

Von der Seite betrachtet schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn eine Fläche ein.

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche in der Realität.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende befestigt.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

b) Nun geht es um den mittleren Brückenabschnitt. Das Tragseil wird in diesem Modell durch den Funktionsterm

$$s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^6\cdot(x^4+2560x^2)+\frac{125}{256}$$

dargestellt.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ zur Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke passt.

(2)

Im mittleren Brückenabschnitt weisen zwei Halteseile jeweils die Länge $\frac{643061}{64000}\,\text{m}\;[\approx 10{,}00\,\text{m}]$.

Berechnen Sie, an welchen Stellen in der Realität sich diese Halteseile befinden.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils mit einem horizontalen Abstand von $40\,\text{m}$ und einem Höhenunterschied von $5\,\text{m}$.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich die $x$-Koordinate des höheren Punkts im Modell bestimmen lässt.