Aufgabe B4 · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert Olivenöl und füllt dieses in Flaschen. Auf jeder Flasche ist als Füllmenge $600\text{ ml}$ angegeben.

a) Je zwölf Flaschen werden zu einem Karton zusammengepackt. Ein Karton wird als fehlerhaft bezeichnet, wenn darin mehr als eine Flasche mit weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten ist. Jede Flasche enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von $1{,}5\,\%$ weniger als $600\text{ ml}$ Öl.

(1)

Im Sachzusammenhang liefert die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4\,\%$ die Lösung einer Aufgabe.

Formulieren Sie dazu eine geeignete Aufgabenstellung und erläutern Sie, wie die Rechnung angesetzt wird.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Flaschen genau drei weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten.

(3)

Nacheinander werden Flaschen geöffnet und ihre Füllmenge kontrolliert.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst die vierte geöffnete Flasche die erste kontrollierte ist, die weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält.

(4)

Ein Supermarkt bekommt regelmäßig eine gleich große Anzahl Flaschen geliefert. Im Mittel enthalten dabei mehr als $780$ Flaschen mindestens $600\text{ ml}$ Öl.

Ermitteln Sie, wie viele Flaschen eine regelmäßige Lieferung mindestens enthält.

(5)

Ein Supermarkt wird mit $150$ Kartons beliefert.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der mehr als $3\,\%$ der Kartons fehlerhaft sind.

b) Für die Füllmenge der Flaschen soll eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert $600{,}5\text{ ml}$ und der Standardabweichung $0{,}23\text{ ml}$ zugrunde gelegt werden.

(1)

Es wird zufällig eine Flasche gewählt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

$A$: „Die Flasche enthält mehr als $601\text{ ml}$ Öl.“

$B$: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\text{ ml}$ vom Erwartungswert ab.“

(2)

Eine Füllmenge kann nicht negativ sein. Die zur Modellierung genutzte Normalverteilung ist dagegen auch für negative reelle Zahlen definiert und liefert dort stets positive Werte.

Begründen Sie, warum die Normalverteilung trotzdem sinnvoll verwendet werden kann.

(3)

Der Betrieb will erreichen, dass seltener eine Flasche weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. Zur dafür nötigen Anpassung der Abfüllmaschine liegen zwei Vorschläge vor:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird heraufgesetzt.

Vorschlag 2: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird künftig genauer eingehalten.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist immer die eingestellte Füllmenge.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, welche die Füllmenge der Flaschen vor der Anpassung der Maschine beschreibt:

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen einer Dichtefunktion nach Vorschlag 1 sowie in Abbildung 2 einen passenden Graphen nach Vorschlag 2.

Begründen Sie für beide Vorschläge anhand Ihrer Skizze, dass das Ziel des Unternehmens erreicht wird.