Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu ausgewählte Gesichtsmerkmale mit gespeicherten Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank.

b) Für eine Werbebroschüre sollen Aussagen über die Güte der Gesichtserkennungssoftware gesammelt werden. Hierfür braucht man Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Durch die Software wird in 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson eingestuft.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Zahl der Videos mit richtig als Zielperson erkannter Person höchstens um 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die abgebildete Person richtig als Zielperson erkannt wird.

c) Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}8$ hat den Erwartungswert $\mu = 80$ und die Standardabweichung $\sigma = 4$.

In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt aus dem Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt. Darüber hinaus ist auch der Graph der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ der Normalverteilung mit $\mu = 80$ und $\sigma = 4$ abgebildet.

Die Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ kann zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsgröße $X$ genutzt werden.

Die Wahrscheinlichkeit $P_{100;0{,}8}(74 \le X \le 86)$ kann näherungsweise durch

$$\int_{73{,}5}^{86{,}5} \varphi_{80;4}(k)\,\mathrm{d}k$$

berechnet werden.

Erklären Sie mithilfe der Abbildung, warum die Integrationsgrenzen so gewählt sind.

e) Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens 90 von 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die abgebildete Person richtig als Zielperson erkannt wird.

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