Aufgabe A2 - Aufgabe a · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR (2023)

Aufgabenstellung

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Betrachtet werden die Funktionen ff und gg mit

f(x)=x3−6⋅x2+3⋅x+10,  x∈R,f(x) = x^3 - 6\cdot x^2 + 3\cdot x + 10, \; x \in \mathbb{R},

und

g(x)=−6⋅x+10,  x∈R.g(x) = -6\cdot x + 10, \; x \in \mathbb{R}.

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von ff und gg schneiden bzw. berühren.

x1=x_1 =

, x2=x_2 =

(2)

Der Punkt P(3∣f(3))P(3 \mid f(3)) gehört zu den gemeinsamen Punkten der Graphen von ff und gg.

Zeigen Sie: Der Graph von gg tangiert den Graphen von ff im Punkt PP.

Aufgabenstellung: Aufgabe A2 - Aufgabe a · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von f und g schneiden bzw. berühren (kleinere Stelle):

Lösung: 0

(1) Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von f und g schneiden bzw. berühren (größere Stelle):

Lösung: 3

(2) Zeigen Sie: Der Graph von g tangiert den Graphen von f im Punkt P.

Lösung: f′(x)=3x2−12x+3f'(x) = 3x^2 - 12x + 3, daher f′(3)=27−36+3=−6=mgf'(3) = 27 - 36 + 3 = -6 = m_g. Da gg eine Gerade ist und an der gemeinsamen Stelle x=3x = 3 dieselbe Steigung wie ff besitzt, ist der Graph von gg die Tangente an den Graphen von ff im Schnittpunkt PP.

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