Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Eigenschaften auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, das ein Architekturbüro für die Planung eines neuen Hotels aus drei gleich geformten Gebäuden verwendet (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Draufsicht dargestellt. Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

a)

(1) Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt. [1 Punkt]

(2) Begründen Sie, warum es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$. [4 Punkte]

(3) Berechnen Sie die Größe des Winkels, den $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}$ einschließen. [2 Punkte]

°

b)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

(1) Ermitteln Sie durch Rechnung, welche Koordinaten der Punkt $P$ hat. [4 Punkte]

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

(2) Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$. [2 Punkte]