Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Eigenschaften auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Ein Architekturbüro verwendet den Körper $K$ in einem mathematischen Modell für die Planung eines neuen Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen von der 1. bis zur 9. Etage Balkone erhalten. In Abbildung 2 ist beispielhaft der Balkonboden der 3. Etage zu sehen.

Im Modell steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt.

$B_1($ $|$ $|$ $)$

a) (2)

Begründen Sie, warum es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$.

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, das ein Architekturbüro für die Planung eines neuen Hotels verwendet. Das Hotel soll zehn gleich hohe Stockwerke haben. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen in der 1. bis 9. Etage Balkone erhalten. Beispielhaft ist in Abbildung 2 der Boden des Balkons der 3. Etage abgebildet.

b) (2)

Alle Punkte der Bodenfläche des Balkons der 3. Etage werden durch die Parametergleichung$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 38 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad 0 \le r \le 1, \; 0 \le s \le 3,$$erfasst. Der Balkon liegt, wie in Abbildung 3 gezeigt, auf zwei senkrechten Stützen $s_1$ und $s_2$ auf.

Berechnen Sie, wie lang die Stütze $s_1$ ist.

Das Hotel soll drei gleichförmige Gebäude umfassen. Gebäude I wird durch den Körper $K$ modelliert; die Gebäude II und III gehen aus Gebäude I durch eine Drehung um jeweils $120^\circ$ hervor (siehe Abbildung 4 und Abbildung 5). Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht. Im Modell befindet sich dieser Innenhof in der $x_1x_2$-Ebene.

c) (1)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\,\Big|\,0\,\Big|\,0\right) \approx P(-5{,}77\,|\,0\,|\,0)$]

$P($ $|$ $|$ $)$

c) (2)

Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$.