Aufgabe 2 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16\text{ m}$.

Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt $M\left(0 \mid \frac{1699}{36}\right)$, der durch die Punkte $A(-20 \mid 5)$, $B(20 \mid 5)$ und $C\left(0 \mid \frac{1}{2}\right)$ verläuft (vgl. Abbildung 2).

a

Begründen Sie, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist. [2 BE]

b

Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von $40\text{ m}$ und einen Höhenunterschied von $5\text{ m}$. Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist. [2 BE]

e

Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt $M\left(0\mid\frac{1699}{36}\right)$, der durch die Punkte $A(-20\mid 5)$, $B(20\mid 5)$ und $C\left(0\mid\frac{1}{2}\right)$ verläuft (vgl. Abbildung 2). Berechnen Sie unter Verwendung des Kreisbogens die Länge des Tragseils. [5 BE]