Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen parallel zur $x_1x_3$-Ebene.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50 \text{ | } {-5} \text{ | } 0)$,

$A_2(50 \text{ | } 5 \text{ | } 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; {-5} \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \text{ | } 5 \text{ | } 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

b) Durch $$E_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50-a \\ 5 \\ 0{,}75\cdot a \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad a\in\mathbb{R},\, r,s\in\mathbb{R}$$

beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Im weiteren Verlauf wird der Boden eines jeden Balkons als Fläche in einer passenden Ebene dieser Schar modelliert. So befindet sich etwa der Boden des Balkons der 3. Etage in der Ebene $E_{12}$.

b)(1)

Zeigen Sie, dass der Punkt $(50-a \mid 5 \mid 0{,}75\cdot a)$ für jeden Wert $a$ mit $0 \le a \le 40$ auf der Strecke $\overline{A_2B_2}$ liegt.

d)(1)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene $F$ auf, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

d)(2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0 \mid 0 \mid 35)$. Zu einem gewissen Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung $$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

Ja

Nein