Aufgabe A1 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2023

(1) Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt besitzt.

Lösung: $f'(x) = \frac{1}{2} x^2 - 4x$, $f''(x) = x - 4$. Wegen $f'(0) = 0$ und $f''(0) = -4 < 0$ liegt an der Stelle $x = 0$ eine lokale Maximalstelle von $f$ vor.

(2) Begründen Sie, dass die Tangente, die den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ berührt, den Punkt $P\left(\frac{4}{3} \Big| \frac{28}{3}\right)$ enthält.

Lösung: Da $H\left(0 \Big| \frac{28}{3}\right)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist, verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $H$ waagerecht (Gleichung $y = \frac{28}{3}$) und daher offensichtlich durch den Punkt $P\left(\frac{4}{3} \Big| \frac{28}{3}\right)$.

(3) Der Graph von $f$ enthält den Punkt $Q(4 | -12)$. Zeigen Sie: Die durch $P$ und $Q$ verlaufende Gerade tangiert den Graphen von $f$ im Punkt $Q$.

Lösung: Die Gerade durch $P$ und $Q$ hat die Steigung $\frac{\frac{28}{3} - (-12)}{\frac{4}{3} - 4} = -8$. Da $f'(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 = -8$ gilt, ist sie die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q$.