Teil A - Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

(1) Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f an der Stelle x = 0 einen lokalen Hochpunkt aufweist.

Lösung: $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2-4\cdot x$, $f''(x)=x-4$. Wegen $f'(0)=0$ und $f''(0)=-4<0$ liegt an der Stelle $x=0$ eine lokale Maximalstelle von $f$ vor.

(2) Begründen Sie, dass der Punkt P(4/3 | 28/3) auf der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0 liegt.

Lösung: Da $H\left(0\middle|\frac{28}{3}\right)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist, verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $H$ waagerecht (Gleichung $y=\frac{28}{3}$) und daher offensichtlich durch den Punkt $P$.

(3) Steigung m der Geraden durch die Punkte P und Q

Lösung: $-8$

(3) Zeigen Sie, dass die Gerade durch P und Q den Graphen von f im Punkt Q tangiert.

Lösung: Da $f'(4) = \frac{1}{2}\cdot 4^2 - 4\cdot 4 = -8$ gilt und $Q$ auf dem Graphen von $f$ liegt, stimmt die Steigung der Geraden mit der Tangentensteigung überein, sodass die Gerade die Tangente in $Q$ ist.