Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gradlinig verläuft, sondern ein Teil der Wirbel eine bogenförmige Krümmung aufweist (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung sichtbar und dient als Grundlage dafür, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Der Verlauf eines Abschnitts der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \leq x \leq 5$ durch die Funktion $f$ modelliert mit$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x+1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

Abbildung 2 zeigt das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

Für die Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung bestimmt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$; dieser heißt Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird meist zu einer Operation geraten, falls der Cobb-Winkel $50^\circ$ übersteigt; ansonsten soll ein Korsett 1 getragen werden.

1 Ein Korsett ist eine stabile oder stabilisierende Stützkonstruktion für den Rumpf und die Wirbelsäule. Es wird meist nach Verletzungen oder bei bestimmten Erkrankungen getragen.

Vorgegebene Wendetangenten (aus früheren Teilaufgaben):

$t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49 \mid f(0{,}49))$

$t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ im Wendepunkt $W_2(2{,}85 \mid 0{,}44)$

b) Bei der Herstellung eines Korsetts kommt im größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein Spezialmaterial zum Einsatz. In Abbildung 4 ist die Fläche, die aus diesem Spezialmaterial besteht, schraffiert markiert.

(1)

Berechnen Sie die Punkte, in denen die Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ die $x$-Achse schneiden. [2 Punkte]

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der aus dem Spezialmaterial gefertigt wird. [4 Punkte]