Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabenstellung

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$

Für eine Funktionenschar $g_a$ gilt die Gleichung

$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \quad a > 0.$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$ .

Die Funktion $h$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

$($

$\mid$

$)$

$($

$\mid$

$)$

a) (2)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf Wendestellen, wobei Sie keine am Funktionsgraphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge nutzen dürfen, und berechnen Sie anschließend die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$ .

$($

$\mid$

$)$

$($

$\mid$

$)$

a) (3)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -e^{-1,5} \cdot x + 0,5 \cdot e^{-1,5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1,5 \mid f(-1,5))$ ist.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Zeigen Sie:

(i) Jeder Graph einer Scharfunktion besitzt genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

(ii) Sämtliche Extrempunkte der Schargraphen liegen auf dem Graphen der Funktion $o$ mit $o(x) = -2 \cdot x \cdot e^x$ .

b) (3)

Für $-a < z < a$ legen die Punkte $P(-a \mid 0)$ , $Q_z(z \mid g_a(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ das Dreieck $PQ_z R_z$ fest.

(i) Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B_a$ des Dreiecks $PQ_z R_z$ in Abhängigkeit von $z$ durch die Gleichung

$B_a(z) = -0,5 \cdot (z+a)^2 \cdot (z-a) \cdot e^z$

berechnen lässt.

(ii) Bestimmen Sie für $a = 1$ den größten Flächeninhalt, den das Dreieck $PQ_z R_z$ annehmen kann.

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Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) Hochpunkt $E_1$ : $x$ -Koordinate

Lösung: $-2{,}12$

a) (1) Hochpunkt $E_1$ : $y$ -Koordinate

Lösung: $0{,}51$

a) (1) Tiefpunkt $E_2$ : $x$ -Koordinate

Lösung: $0{,}12$

a) (1) Tiefpunkt $E_2$ : $y$ -Koordinate

Lösung: $-0{,}27$

a) (2) Rechnerische Untersuchung auf Wendestellen

Lösung: Notwendige Bedingung: $f''(x) = 0 \iff x = -\frac{7}{2} \lor x = -\frac{1}{2}$ . Nachweis über Vorzeichenwechsel: $f''(-4) \approx 0{,}032$ , $f''(-3) \approx -0{,}062$ und $f''(0) = 1{,}75$ .

a) (2) Wendepunkt $W_1$ : $x$ -Koordinate

Lösung: $-\frac{7}{2}$ / $-3{,}5$

a) (2) Wendepunkt $W_1$ : $y$ -Koordinate

Lösung: $12 \cdot e^{-\frac{7}{2}}$ / $12 \cdot e^{-3{,}5}$ / $0{,}36$

a) (2) Wendepunkt $W_2$ : $x$ -Koordinate

Lösung: $-\frac{1}{2}$ / $-0{,}5$

a) (2) Wendepunkt $W_2$ : $y$ -Koordinate

Lösung: $0$

a) (3) Rechnerischer Nachweis der Tangentengleichung im Punkt $(-1,5 \mid f(-1,5))$

Lösung: $f'(-1{,}5) = -e^{-1{,}5}$ und $y(-1{,}5) = 2 \cdot e^{-1{,}5} = f(-1{,}5)$ .

b) (1) (i) Zeigen Sie: Jeder Graph einer Scharfunktion besitzt genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

Lösung: Aus $g_a'(x) = 0 \iff x = -1 + \sqrt{1+a^2} \lor x = -1 - \sqrt{1+a^2}$ . Wegen $g_a''(-1+\sqrt{1+a^2}) > 0$ und $g_a''(-1-\sqrt{1+a^2}) < 0$ existieren genau ein Tief- und ein Hochpunkt.

b) (1) (ii) Zeigen Sie: Sämtliche Extrempunkte liegen auf dem Graphen von $o(x) = -2 \cdot x \cdot e^x$ .

Lösung: $g_a\left(-1 \pm \sqrt{1+a^2}\right) = -2 \cdot \left(-1 \pm \sqrt{1+a^2}\right) \cdot e^{-1 \pm \sqrt{1+a^2}} = o\left(-1 \pm \sqrt{1+a^2}\right)$ .

b) (3) (i) Begründen Sie die Gleichung für den Flächeninhalt $B_a(z) = -0,5 \cdot (z+a)^2 \cdot (z-a) \cdot e^z$ .

Lösung: Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten $|g_a(z)| = -(z+a)(z-a)e^z$ und $z - (-a) = z + a$ . Flächeninhalt: $B_a(z) = 0{,}5 \cdot (z+a) \cdot [-(z+a)(z-a)e^z]$ .

b) (3) (ii) Bestimmen Sie für $a = 1$ den größten Flächeninhalt, den das Dreieck $PQ_z R_z$ annehmen kann.

Lösung: $0{,}937$

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