Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Personen werden Fotos in einer Datenbank hinterlegt; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank liegen, heißen Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Qualität ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Die Software stuft bei 50 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen in mehr als 40 Videos die abgebildete Person korrekt als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der Videos mit korrekter Einstufung der abgebildeten Person als Zielperson höchstens um 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die abgebildete Person korrekt als Zielperson eingestuft wird.

c) Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 100$ und $p = 0{,}8$ hat den Erwartungswert $\mu = 80$ und die Standardabweichung $\sigma = 4$.

Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Histogramms der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Zusätzlich ist der Graph der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ der Normalverteilung mit $\mu = 80$ und $\sigma = 4$ eingezeichnet.

Mit der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ lassen sich Wahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße $X$ abschätzen.

Näherungsweise lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P_{100;0{,}8}(74 \le X \le 86)$ mit

$$\int_{73{,}5}^{86{,}5} \varphi_{80;4}(k)\,\mathrm{d}k$$

berechnen.

Erklären Sie mithilfe der Abbildung, warum diese Integrationsgrenzen gewählt werden.