Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt die Masse $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Dessen oberer Rand wird vom Graphen einer Funktion $g$ beschrieben, der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$.

In einem passenden Intervall werden der obere und der untere Rand durch die Graphen von $g$ und $h$ beschrieben. Dabei gilt:

$$g(x)=\frac{2}{3}x^3-3x^2+4x-\frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x)=0{,}06x^4-0{,}30x^2+0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

In der Regel liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt betrachtet die Kniekehlen etwa in dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten Werte zwischen $-0,7$ und $0,7$ annehmen (zweite Bedingung).

Teilaufgabe a

a) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von $g$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x = 1$ und $x = 2$.]

$H($ $\mid$ $)$

$T($ $\mid$ $)$

a) (2)

Berechnen Sie die Entfernung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt.

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung des Graphen von $g$ an der Wendestelle, wobei keine am Graphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge verwendet werden dürfen.

a) (4)

Menschen mit $172\text{ cm}$ Körpergröße haben im Mittel eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$.

Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen für eine bequeme Liege erfüllt.

Teilaufgabe b

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung der Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

Teilaufgabe c

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) (1)

Bestimmen Sie rechnerisch die lokalen Extremstellen des Graphen von $g_k$ abhängig von $k$; die hinreichende Bedingung muss nicht überprüft werden.

[Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: Der Hochpunkt des Graphen von $g_k$ hat die Koordinaten $H_k\left(\frac{1}{k} \;\middle|\; \frac{29}{30k}\right)$ und der Tiefpunkt die Koordinaten $T_k\left(\frac{2}{k} \;\middle|\; \frac{19}{30k}\right)$.]

c) (2)

Weisen Sie nach, dass der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt des Graphen von $g_k$ folgenden Wert hat:$$d_k = \frac{\sqrt{10}}{3k}.$$

c) (3)

Bestimmen Sie $k$ so, dass die Liegefläche, modelliert mit $g_k$, die erste Bedingung für eine bequeme Liege für ein zehnjähriges Kind mit $140\text{ cm}$ Körpergröße und einer Oberschenkellänge von ca. $30\text{ cm}$ erfüllt.

c) (4)

Erläutern Sie, wie die Werte von $k$ variiert werden müssen, um bei Modellierung der Liegefläche mit $g_k$ eine Liege für große bzw. kleine Menschen zu bekommen.

c) (5)

Zeigen Sie, dass die Steigung von $g_k$ an der Wendestelle nicht von $k$ abhängt und dass jede mit einer Funktion $g_k$ modellierte Liege die zweite Bedingung für bequeme Liegen erfüllt.