Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben; dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

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Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $f$ mit

$$f(x) = g(k \cdot x) = \frac{2}{3}(k \cdot x)^3 - 3(k \cdot x)^2 + 4(k \cdot x) - 0{,}7, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Die Liegefläche einer Kinderliege soll durch die Funktion $f$ mit einem passend gewählten Wert von $k$ modelliert werden.

Begründen Sie, warum Werte von $k < 1$ dafür nicht geeignet sind. (3 Punkte)