Aufgabe e · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Thema: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabenstellung

e) Gegeben ist die Ebene E:x⃗=u⃗+r⋅v⃗+s⋅w⃗E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}, r,s∈Rr, s \in \mathbb{R}.

Abbildung 2 zeigt einen Teil der Ebene E.

(1) (i)

Der in Abbildung 2 markierte Punkt AA liegt in der Ebene EE. Man erhält ihn, indem man ganzzahlige Werte für die Parameter rr und ss in die Parametergleichung von EE einsetzt.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 Werte für rr und ss an, für die u⃗+r⋅v⃗+s⋅w⃗=OA⃗\vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \vec{OA} erfüllt ist.

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Bereich ein, den man erhält, wenn in die Parametergleichung von EE für rr und ss sämtliche Werte mit 0≤r≤20 \le r \le 2 und −1≤s≤1-1 \le s \le 1 eingesetzt werden.

(2)

Es gilt: E:x⃗=(123)+r⋅(2−10)+s⋅(0−11)E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, r,s∈Rr, s \in \mathbb{R}.

Untersuchen Sie, ob die Ebene EE den Punkt P(5∣0∣2)P(5|0|2) enthält.

Aufgabenstellung: Aufgabe e · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) (i) Wert von r

Lösung: -3

(1) (i) Wert von s

Lösung: 2

(1) (ii) Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Bereich ein, der beschrieben wird, wenn für r und s alle Parameterwerte mit 0 <= r <= 2 und -1 <= s <= 1 in die Parametergleichung von E eingesetzt werden.

Lösung: Ein Parallelogramm mit den Eckpunkten für (r,s)∈{(0,−1),(2,−1),(2,1),(0,1)}(r, s) \in \{(0, -1), (2, -1), (2, 1), (0, 1)\}, aufgespannt durch 2v⃗2\vec{v} und 2w⃗2\vec{w} zentriert um s=0s=0.

(2) Rechenweg: Untersuchung, ob P in E liegt

Lösung: (123)+r⋅(2−10)+s⋅(0−11)=(502)  ⟺  ∣2r=4−r−s=−2s=−1∣  ⟺  ∣r=2−1=−2s=−1∣\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \iff \left|\begin{array}{rcl} 2r &=& 4 \\ -r - s &=& -2 \\ s &=& -1 \end{array}\right| \iff \left|\begin{array}{rcl} r &=& 2 \\ -1 &=& -2 \\ s &=& -1 \end{array}\right|

(2) Ergebnis: Liegt der Punkt P in der Ebene E?

Lösung: nein / liegt nicht in E

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