Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Kubikzentimeter ($1\text{ cm}^3$) dieses Holzes wiegt $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt ein Modell des Längsschnitts eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ modelliert.

Die Funktionen $g$ und $h$, deren Graphen den oberen und unteren Rand in einem passenden Intervall beschreiben, sind gegeben durch:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Normalerweise liegt man so auf der Liege, dass sich im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt befinden, der im Modell dem lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ entspricht. Das Gesäß liegt dann etwa im Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung) und zudem die Steigung zwischen diesen Punkten stets zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegt (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Regel liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt die Kniekehlen etwa an dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa an dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr so groß ist wie der Abstand dieser beiden Punkte (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

a)

(1) Ermitteln Sie die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts des Graphen von $g$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $x=1$ und $x=2$.]

(2) Berechnen Sie, wie weit Hoch- und Tiefpunkt voneinander entfernt sind.

(3) Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung des Graphen von $g$ an der Wendestelle, ohne Werte oder Zusammenhänge zu nutzen, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden.

(4) Menschen mit einer Körpergröße von $172\text{ cm}$ haben im Mittel eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$. Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen einer bequemen Liege erfüllt.

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b)

(1) Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

(2) Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Fläche (siehe Abbildung 3) unter Angabe der benötigten Integrale.

[Zur Kontrolle: Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt ungefähr $1{,}25\text{ FE}$.]

(3) Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.

c)

Am Seitenteil soll eine Leiste $v$ angebracht werden, die parallel zur $y$-Achse verläuft (siehe Abbildung 3). Die Leiste soll an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ angebracht werden, an der die vertikale Entfernung (Entfernung in $y$-Richtung) zwischen dem oberen Rand und dem unteren Rand des Seitenteils maximal ist.

Ermitteln Sie die maximale vertikale Entfernung zwischen dem oberen und dem unteren Rand des Seitenteils.

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

d)

(1) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und die Art der Extrempunkte des Graphen von $g_k$ in Abhängigkeit von $k$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen von $g_k$ sind $x = \frac{1}{k}$ und $x = \frac{2}{k}$.]

(2) Bestimmen Sie $k$ so, dass bei Modellierung der Liegefläche mit der Funktion $g_k$ die erste Bedingung für eine bequeme Liege für ein zehnjähriges Kind der Körpergröße $140\text{ cm}$ mit der Oberschenkellänge von ca. $30\text{ cm}$ erfüllt ist.

(3) Erläutern Sie, wie die Werte von $k$ variiert werden müssen, um bei Modellierung der Liegefläche mit $g_k$ eine Liege für große bzw. kleine Menschen zu bekommen.

(4) Zeigen Sie, dass für die Funktion $g_k$ die Steigung an der Wendestelle unabhängig von $k$ ist und dass alle mit einer Funktion $g_k$ modellierten Liegen die zweite Bedingung für bequeme Liegen erfüllen.