Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Graphen von f, f′ und F deuten · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto e^x \cdot (x - a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die Abbildung 1 zeigt $G_{\frac{3}{2}}$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a,b}: x \mapsto e^x \cdot \left((x - a + b)^2 - b\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Es gilt $f_{a,0}(x) = f_a(x)$. Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet.

Erhöht man im Term von $f_{a,b}$ den Wert von $b$ um 1, so erhält man einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $f_{a,b}$. Es gilt also $f'_{a,b}(x) = f_{a,b+1}(x)$.

f

Die Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $a$ die Graphen zweier Funktionen der Schar, bei denen sich die Werte von $b$ um 1 unterscheiden.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Graphen I und II zum größeren Wert von $b$ gehört, und begründen Sie Ihre Entscheidung.