Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine bogenförmige Krümmung aufweisen (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern lässt sich diese Krümmung sehen, und anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt den geraden Wirbelsäulenverlauf einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

In Abbildung 2 sind das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule und der Graph von $f$ zu sehen.

b) Skoliosen können unter anderem mit einem Korsett 1 behandelt werden.

Bei der Herstellung eines Korsetts kommt für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein spezielles Material zum Einsatz. In Abbildung 4 ist die Fläche, auf der dieses spezielle Material eingesetzt wird, schraffiert eingezeichnet.

1 Ein Korsett ist eine stabile oder stabilisierende Stützkonstruktion für den Rumpf und die Wirbelsäule. Es wird meist nach Verletzungen oder bei bestimmten Erkrankungen getragen.

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, auf der das spezielle Material eingesetzt wird.

[4 Punkte]