Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung:

Mithilfe von Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videoaufnahmen oder live identifizieren. Das System vergleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Die Leistung einer Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Freiwilligen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige ohne Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase gleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank ab.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Güte der Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis:

Von $50$ zufällig gewählten Videos von Zielpersonen stuft die Software in mehr als $40$ Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $100$ zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der Videos mit korrekt als Zielperson eingestufter Person höchstens um $1{,}5$ Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit mindestens $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

c) Für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit $n = 100$ und $p = 0{,}8$ gilt: Der Erwartungswert ist $\mu = 80$, die Standardabweichung ist $\sigma = 4$.

In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt aus dem Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt. Darüber hinaus ist auch der Graph der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ der Normalverteilung mit $\mu = 80$ und $\sigma = 4$ abgebildet.

Die Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ kann zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsgröße $X$ genutzt werden.

Die Wahrscheinlichkeit $P_{100;0{,}8}(74 \le X \le 86)$ kann näherungsweise durch$$\int_{73{,}5}^{86{,}5} \varphi_{80;4}(k)\,\mathrm{d}k$$berechnet werden.

Erklären Sie mithilfe der Abbildung, warum die Integrationsgrenzen so gewählt werden.

e) Ermitteln Sie die Mindest-Trefferwahrscheinlichkeit einer Gesichtserkennungssoftware – in Prozent ohne Nachkommastelle –, damit bei $100$ zufällig gewählten Videos von Zielpersonen mit mindestens $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit in mindestens $90$ Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

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