Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2023

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine gekrümmte Form annehmen (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen. Anhand der Aufnahmen entscheidet man über die weitere Behandlung.

Für $0 \le x \le 5$ beschreibt die Funktion $f$ den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts eines Skoliose-Patienten mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x+1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um 90° gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

a)

(1) Zeigen Sie: $f'(x)=(-0{,}6x^2+x)\cdot e^{-1{,}2x+1{,}2}$.

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten beider Extrempunkte des Graphen von $f$ und deren Art; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

Deuten Sie die y-Koordinate des Hochpunkts im Kontext der Sachsituation.

(2) Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente $t_1$, die den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49|0{,}22)$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).]

Die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_2(2{,}85|0{,}44)$ hat die Gleichung $t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).

Für die Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung wird der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ ermittelt, der sogenannte Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird üblicherweise zu einer Operation geraten, falls der Cobb-Winkel über $50^\circ$ liegt; andernfalls wird das Tragen eines Korsetts empfohlen.

(3) Der Cobb-Winkel $\alpha$ kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose eine Operation empfohlen wird.

°

c)

Ein Arzt erwägt, statt des Cobb-Winkels zwischen den Wendetangenten den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten derjenigen Wirbel heranzuziehen, auf denen die Wendepunkte liegen.

Dabei wird anstelle der Tangente in $W_1$ die Tangente in $P_1$ genommen, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Entsprechend dient statt der Tangente in $W_2$ die Tangente in $P_2$, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 5).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob diese Änderung zu einem größeren oder einem kleineren Winkelwert führt.