Aufgabe 1 (WTR 1) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

1 Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2 = -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$

beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ für $0 \le x \le 4$.

Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f'(x) = (5x^2 - 16x + 8)\cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)$.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2$$

von Bedeutung.

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot(4-x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2$ von Bedeutung.

e)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

f)

Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

g)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markieren Sie diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründen Sie Ihre Markierung und veranschaulichen Sie Ihre Begründung in der Abbildung 2.