Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung: Modellierung eines Staus an einer Autobahnbaustelle

An einer Autobahnbaustelle bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Die momentane Änderungsrate der Staulänge lässt sich für diesen Tag vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Neben $f$ spielt im Sachzusammenhang auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3$$ eine Rolle.

Außerdem wird die Funktionenschar $l_{a;b}$ betrachtet, deren Funktionen in $\mathbb{R}$ definiert sind, mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\ a > 0,\ b > 0.$$ Eine Verkehrszentrale beobachtet den Autobahnverkehr der Region. Ihre Computersysteme empfangen fortlaufend Sensor- und Kameradaten, die eine Software auswertet.

Die Software beschreibt Staulängen durch die Funktionen $l_{a;b}$. Dabei bezeichnet $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die seit der Entstehung des Staus vergangene Zeit in Stunden und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer.

Aufgabenteil a)

(1)

Nennen Sie alle Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge null beträgt, und begründen Sie mithilfe des Aufbaus des Funktionsterms von $f$, dass keine weiteren derartigen Zeitpunkte existieren.

(2)

Es ist $f(2) < 0$. Geben Sie an, was dies im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt der stärksten Zunahme der Staulänge und zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt einen Wert zwischen $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hat.

(4)

Geben Sie an, wann der Stau seine größte Länge erreicht, und begründen Sie diese Angabe.

Aufgabenteil b)

(1)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ die lokalen Extremstellen von $l_{a;b}$ sowie deren Art.

(2)

Bei passend gewählten Parametern $a_s$ und $b_s$ stimmt die Funktion $l_{a_s;b_s}$ mit der Funktion $s$ (aus Aufgabenteil a)) überein. Bestimmen Sie $a_s$ und $b_s$.

(3)

Ein Display zeigt einen Stau an, der um 06:00 Uhr begonnen hat. Die Software modelliert ihn mit den Parametern $a = 2{,}4$ und $b = 12$. Berechnen Sie, wann die vorhergesagte Staulänge nach der Entstehung erstmals $10\text{ Kilometer}$ beträgt.

(4)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich die vorausgesagte maximale Staulänge verringert, wenn das Leitsystem eingeschaltet wird ($a = 1{,}75$, $b = 8$ statt zuvor $a = 2{,}4$, $b = 12$).

%

(5)

Neben dem Leitsystem soll ein Polizeieinsatz den Stau verkleinern. Die Polizei möchte erreichen, dass die Staulänge ab 11:00 Uhr gleichmäßig mit der Änderungsrate sinkt, die die Software für 11:00 Uhr vorhersagt.

(i)

Ermitteln Sie unter diesen Bedingungen mithilfe von Abbildung 2 grafisch, zu welchem Zeitpunkt der Stau verschwunden sein wird.

(ii)

Überprüfen Sie das Ergebnis aus (i) rechnerisch.