Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2023

Mithilfe von Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende ohne Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Im Test vergleicht die Software Videos einzelner Personen, also sowohl von Zielpersonen als auch von Kontrollpersonen, mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Angaben zur Qualität ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis:

Von 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen ordnet die Software in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der Videos mit richtiger Einstufung der gezeigten Person als Zielperson durch die Software höchstens um 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert unterscheidet.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig ausgewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson erkannt wird.

d) Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens 90 von 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen die gezeigte Person richtig als Zielperson erkennt.

d)

%