Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Forschungsteam eines Tourismusinstituts befragte repräsentativ $10\,000$ Personen aus einer Region, die 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gelangt waren.

Es zeigte sich: $26\,\%$ der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei $16\,\%$ von ihnen reisten die Personen mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) wurde in $10\,\%$ der Fälle die Bahn für die Anreise genutzt.

Die genannten Prozentsätze sind im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse zu verwenden.

b)

Zur Ergänzung der Befragung werden zufällig 20 Fragebögen zu den Urlaubsreisen herausgegriffen, damit mit den jeweiligen Befragten Interviews geführt werden können.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele der 20 Urlaubsreisen Inlandsreisen sind.

(1)

Erläutern Sie, weshalb sich $P(X = k)$ für $0 \leq k \leq 20$ näherungsweise mithilfe einer Binomialverteilung berechnen lässt.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen zu finden sind.

(3)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Inlandsreisen unter den 20 Urlaubsreisen innerhalb der $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt.

c)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Fragebögen, die ausgewählt werden muss, damit mit mindestens $99\,\%$ Wahrscheinlichkeit auf mindestens fünf dieser Fragebögen eine Auslandsreise angegeben ist.