Aufgabe MMS 2 - 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Ein großes Reiseunternehmen führt auf seinen Internetseiten ein kostenloses Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt; diese Anzahl beträgt mindestens 1 und höchstens 5. Im Folgenden sind dazu die möglichen Gewinne beschrieben:

Unter den teilnehmenden Personen, bei denen nur ein Strandkorb angezeigt wird, werden Sachgewinne verlost.

Die teilnehmenden Personen mit zwei, drei, vier oder fünf Strandkörben erhalten jeweils einen Reisegutschein. Der folgenden Tabelle können die Werte der Gutscheine sowie die Wahrscheinlichkeiten für diese Gewinne entnommen werden.

Anzahl der Strandkörbe · 2 · 3 · 4 · 5

Wert des Gutscheins in € · 200 · 500 · 1000 · 10 000

Wahrscheinlichkeit · $8 \cdot 10^{-4}$ · $5 \cdot 10^{-5}$ · $2 \cdot 10^{-5}$ · $3 \cdot 10^{-6}$

Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 43,5 Cent.

1 Aufgabe

Für ein Land wird die Gruppe derjenigen Personen betrachtet, die im Jahr 2022 eine Urlaubsreise unternahmen. $45\,\%$ dieser Personen sind weiblich. Der Anteil derjenigen, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren, beträgt unter den weiblichen Personen $80\,\%$; der entsprechende Anteil unter den nicht weiblichen Personen wird mit $a$ bezeichnet.

Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden die folgenden Ereignisse:

$W$: „Die Person ist weiblich.“

$Z$: „Die Person war mit ihrer Urlaubsreise zufrieden.“

a)

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person mit ihrer Urlaubsreise zufrieden war, $77{,}8\,\%$ beträgt.

b)

Weisen Sie nach, dass es in der betrachteten Gruppe für $a = 0{,}7$ weniger weibliche als nicht weibliche Personen geben würde, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren.

c)

Geben Sie denjenigen Wert von $a$ an, für den $W$ und $Z$ stochastisch unabhängig wären, und begründen Sie Ihre Angabe, ohne zu rechnen.

d)

Die ausgewählte Person war mit ihrer Urlaubsreise nicht zufrieden. Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person weiblich ist, mit zunehmendem Wert von $a$ zunimmt.