Aufgabe B2 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor, lediglich die Abfolge darf variiert werden. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der genannten Reihenfolge durch, ergibt sich der Graph der Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$ In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur für einen anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres dar.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit $$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \ a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$ modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

c) (4) (i)

Begründen Sie, weshalb der in Abbildung 2 gezeigte Verlauf nur dann durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden kann, wenn diese mindestens den Grad 4 besitzt.

c) (4) (ii)

Zur Modellierung des Verlaufs dient eine ganzrationale Funktion $h$ mit$$h(x) = a\cdot x^4 + b\cdot x^3 + c\cdot x^2 + d\cdot x + e, \quad x, a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangen ist, und $h(x)$ für die Tagesdurchschnittstemperatur in $^\circ\text{C}$.

Die Funktion $h$ soll dabei diese Bedingungen erfüllen:

Bei $x=1$ tritt die niedrigste Tagesdurchschnittstemperatur auf.

Bei $x=7$ wird die höchste Tagesdurchschnittstemperatur von $17^\circ\text{C}$ erreicht.

Bei $x=10{,}5$ sinkt die Tagesdurchschnittstemperatur am stärksten, nämlich mit einer Rate von $-4{,}2^\circ\text{C}$ pro Monat.

Stellen Sie anhand dieser Bedingungen ein Gleichungssystem auf, mit dem sich $a, b, c, d$ und $e$ bestimmen lassen.

[Die Werte müssen nicht berechnet werden.]