Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

1 Bei einem Computerspiel sind mehrere Stufen zu durchlaufen. Jeder Spieldurchgang beginnt in der Stufe 1; anschließend werden alle weiteren Stufen in aufsteigender Reihenfolge durchlaufen. Ein Ziel des Spiels ist es, Münzen zu sammeln. Diese werden in drei Kategorien bereitgestellt: 1er-Münzen sind einen Punkt wert, 2er-Münzen zwei Punkte und 8er-Münzen acht Punkte.

Die Verteilung der in der Stufe $n$ bereitgestellten Münzen wird durch Vektoren der Form $\vec{v}_n = \begin{pmatrix} e_n \\ z_n \\ a_n \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $e_n$ die Anzahl der 1er-Münzen, $z_n$ die Anzahl der 2er-Münzen und $a_n$ die Anzahl der 8er-Münzen ist. Die Gesamtzahl und die Verteilung der Münzen in der Stufe 1 werden zufällig festgelegt, wobei die Gesamtzahl nicht null sein kann. Die Veränderung der Gesamtzahl der Münzen und der Verteilung der Münzen von einer Stufe zur nächsten wird durch die Gleichung

$$\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n \quad \text{mit } M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0{,}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}$$

bestimmt.

a)

Stellen Sie die durch die Gleichung bestimmte Veränderung von einer Stufe zur nächsten in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

b)

Beurteilen Sie die folgende Aussage: [2 BE]

Unabhängig von der Verteilung der Münzen in der Stufe 1 nimmt die Gesamtzahl der Münzen von Stufe zu Stufe zu.

c)

Untersuchen Sie, ob bei dem Spiel die in der folgenden Tabelle dargestellten Anzahlen von 1er- und 2er-Münzen auftreten können. [3 BE]

Stufe

1

2

3

Anzahl der 1er-Münzen

50

0

300

Anzahl der 2er-Münzen

30

15

0

Zu Beginn eines Spieldurchgangs in der Stufe 1 wurden einhundert 1er-Münzen, fünfunddreißig 2er-Münzen und zehn 8er-Münzen bereitgestellt.

d)

Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar: [3 BE]

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 50 \\ 0{,}3 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}^3 \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 35 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 600 \\ 180 \\ 36 \end{pmatrix} \quad \text{liefert} \quad \frac{36}{600+180+36} \approx 4\,\%$$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung.

e)

In dem betrachteten Spieldurchgang sammelt der Spieler in den ersten drei Stufen 300 Münzen mit einem Gesamtwert von 462 Punkten. Dabei ändert sich der Anteil der gesammelten 1er-Münzen an den bereitgestellten 1er-Münzen von Stufe zu Stufe nicht; gleiches gilt für die entsprechenden Anteile der gesammelten 2er- und 8er-Münzen. Die beschriebenen Anteile der gesammelten 1er- und 2er-Münzen stimmen überein. Ermitteln Sie den beschriebenen Anteil der gesammelten 1er-Münzen. [5 BE]

Für $k \in [0; 7[$ werden die Pyramiden $A_k B_k C D S$ mit $A_k(0 \mid k - 1 \mid 0)$, $B_k(2k + 2 \mid k - 1 \mid 0)$, $C(5 \mid 6 \mid 0)$, $D(0 \mid 6 \mid 0)$ und $S(0 \mid 0 \mid 6)$ betrachtet (vgl. Abbildung 1).

a)

Begründen Sie, dass die Grundfläche der Pyramide für jeden Wert von $k$ ein Trapez ist. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Grundfläche rechteckig ist.

b)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_k S}$ mit der Grundfläche der Pyramide einschließt, $60^\circ$ beträgt.

c)

Der in der Abbildung 2 gezeigte Graph stellt das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit von $k$ dar. Das Volumen der Pyramide für $k = k_2$ ist halb so groß wie das Volumen der Pyramide für $k = k_1$. Ermitteln Sie alle möglichen Werte von $k_2$.