Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.

Im Sachzusammenhang spielt außer $f$ auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

(2)

Für die Funktion gilt $f(2) < 0$. Geben Sie an, was dies im Sachzusammenhang bedeutet. [1 Punkt]

(5)

Begründen Sie, dass diese Aussage zutrifft:

„Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.“

Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass der Stau um 10:00 Uhr völlig verschwunden ist. [4 Punkte]

(6)

Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr zunimmt, und bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Staulänge in diesem Zeitraum. [3 Punkte]

(8)

An einem anderen Tag zeigt der Graph in Abbildung 1 die momentane Änderungsrate der Staulänge von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Dabei steht $x$ für die Zeit in Stunden seit 06:00 Uhr und $y$ für die momentane Änderungsrate in Kilometern pro Stunde.

Um 07:30 Uhr besitzt der Stau eine bestimmte Länge. Zu einem anderen Zeitpunkt ist der Stau genauso lang.

Markieren Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründen Sie Ihr Vorgehen. [3 Punkte]