Aufgabe 1 (MMS 2) - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2023

Die Abbildung zeigt das Viereck $ABCD$ mit $A(0|3|0)$, $B(0|9|0)$, $C(2|8|4)$ und $D(2|4|4)$. Gegeben sind außerdem die Punkte $S_t(0|6|t)$ mit $t \in \mathbb{R}_0^+$.

Im Folgenden gilt $t > 4$.

Die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $C$ schneidet die $x_1x_2$-Ebene im Punkt $C'_t$, die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $D$ schneidet diese Ebene im Punkt $D'_t$ (vgl. Abbildung).

c

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Viereck $ABCD$ liegt, in Koordinatenform. [3 BE]

(zur Kontrolle: $2x_1 - x_3 = 0$)

d

Die Ebene E schneidet die $x_1x_3$-Ebene in einer Gerade. Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte an, die auf dieser Gerade und symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs liegen. [2 BE]

e

Vom Punkt $S_t$ aus wird das Lot auf die Ebene E gefällt. Ermitteln Sie diejenigen Werte von $t$, für die der Lotfußpunkt im Inneren des Vierecks $ABCD$ liegt. [5 BE]