Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern einige Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung zu sehen. Anhand der Aufnahmen wird entschieden, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \le x \le 5$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

a)

(1)

Zeigen Sie: $f'(x) = (-0{,}6x^2 + x) \cdot e^{-1{,}2x + 1{,}2}$.

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten beider Extrempunkte des Graphen von $f$ und deren Art; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

Deuten Sie die y-Koordinate des Hochpunkts im Zusammenhang mit der Sachsituation.

(2)

Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente $t_1$, die den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49|0{,}22)$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).]

Die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_2(2{,}85|0{,}44)$ hat die Gleichung $t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).

(3)

Zur Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung ermittelt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$, den sogenannten Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird üblicherweise zu einer Operation geraten, wenn der Cobb-Winkel über $50^\circ$ liegt; ansonsten ist das Tragen eines Korsetts angezeigt.

Der Cobb-Winkel $\alpha$ kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

berechnet werden, wobei $m_1$ bzw. $m_2$ die Steigungen der Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ sind.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose eine Operation als Behandlung empfohlen wird.