Aufgabe 1 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenscha… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Die Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400\text{ m}$. Die Wasseroberfläche liegt $20\text{ m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10\text{ m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{11}\cdot(32-x)} - 1\right)$$ beschrieben.

a

Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640\text{ m}$ lang ist. [4 BE]

b

Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden. Geben Sie einen passenden Term $\ell(x)$ sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. [3 BE]

c

Berechnen Sie die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche. [3 BE]