Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Eigenschaften auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Ein Architekturbüro verwendet den Körper $K$ in einem mathematischen Modell für die Planung eines neuen Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen von der 1. bis zur 9. Etage Balkone erhalten. In Abbildung 2 ist beispielhaft der Balkonboden der 3. Etage zu sehen.

Im Modell steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

b)(1)

Zeigen Sie, dass der Punkt $(50-a \mid 5 \mid 0{,}75\cdot a)$ für alle Werte von $a$ mit $0 \le a \le 40$ auf der Strecke $\overline{A_2B_2}$ liegt.

[4 Punkte]

d)(1)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für diejenige Ebene $F$ auf, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

[4 Punkte]

[Zur Kontrolle: $F: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_3 = 150$]

d)(2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0 \mid 0 \mid 35)$. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung $\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ ein.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

[4 Punkte]

$Q($

$\mid$

$\mid$

$)$

Ja

Nein