Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

Das Rechteck $A_1A_2A_3A_4$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene, das Rechteck $B_1B_2B_3B_4$ liegt in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die parallel zur $x_1x_3$-Ebene sind.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Ein Architekturbüro plant ein neues Hotel aus drei gleichförmigen Gebäuden und nutzt dafür ein mathematisches Modell, in dem $K$ enthalten ist (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; Gebäude II und III entstehen jeweils durch eine Drehung von Gebäude I um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Ansicht von oben dargestellt.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt.

a) (2)

Begründen Sie, dass es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie den Rauminhalt des Körpers $K$.

a) (3)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}$ einschließen.

°

Teilaufgabe b

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

b) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $P$ auf rechnerischem Weg.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

b) (2)

Berechnen Sie, wie weit $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$ entfernt ist.