Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Teil A · Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^4 - 4x^3$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten linearen Funktion $f$.

a

Begründen Sie, dass $f(x)=\frac{1}{2}x+5$ gilt.

b

Berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs zum Graphen.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^4 - 4x^3$.

Betrachtet wird eine Funktion $f$, deren Graph symmetrisch bezüglich der $y$-Achse ist. Die Tangente $t_1$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(1 \mid f(1))$ hat die Gleichung $y = \frac{4}{3}x + 4$.

a

Geben Sie eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1 \mid f(-1))$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

b

Die Tangenten $t_1$ und $t_2$ schließen mit der $x$-Achse ein Dreieck ein. Bestimmen Sie den Umfang des Dreiecks.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^4 - 4x^3$.

a

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto x^4 - 4x^3$.

b

Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist:

Für die Abbildung wurde eine Längeneinheit auf der x-Achse ebenso groß gewählt wie auf der y-Achse.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^{x^2}$.

a

Geben Sie die Wertemenge von $f$ an. [2 BE]

$W_f =$

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^{x^2}$.

b

Für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt $f'(x) = 2x \cdot f(x)$. Die Graphen von $f$ und $f'$ schneiden sich in einem Punkt. Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt. [3 BE]

$x =$

$f'\left(x\right) =$