Aufgabe B3 - Teilaufgabe a und b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

Bei $A_1A_2A_3A_4$ handelt es sich um ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt. [1 Punkt]

a) (2)

Begründen Sie, dass es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie den Rauminhalt des Körpers $K$. [4 Punkte]

a) (3)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}$ einschließen. [2 Punkte]

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, das ein Architekturbüro für die Planung eines neuen Hotels aus drei gleichförmigen Gebäuden verwendet (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass sie einen dreieckigen Innenhof umschließen. Im Modell befindet sich dieser Innenhof in der $x_1x_2$-Ebene.

In Abbildung 3 daneben ist das Hotelmodell in der Draufsicht dargestellt.

Teilaufgabe b)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

b) (1)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes $P$. [4 Punkte]

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot \sqrt{75}}{3} \,\middle|\, 0 \,\middle|\, 0\right) \approx P(-5{,}77 \mid 0 \mid 0)$.]

b) (2)

Berechnen Sie, wie weit $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$ entfernt ist. [2 Punkte]