Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern ein Teil der Wirbel eine Krümmung bildet (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen und anhand der Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\; x \in \mathbb{R}.$$ Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt den geraden Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

Abbildung 2 zeigt das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$:

b) Skoliosen können unter anderem mit einem Korsett behandelt werden. Bei dessen Herstellung kommt für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein spezielles Material zum Einsatz. Die Fläche, auf der dieses spezielle Material eingesetzt wird, ist in Abbildung 4 schraffiert eingezeichnet.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, auf dem das spezielle Material eingesetzt wird.