Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrecht stehenden Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Das Wasser befindet sich $20\text{ m}$ unter der Fahrbahn.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. An der Spitze eines jeden Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile haben ihre Verankerung jeweils am Ende der Fahrbahn.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse der Brücke.

Teilaufgabe a)

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den folgenden Funktionsterm dargestellt:

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$

beschrieben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Fahrbahn der Brücke 640 m beträgt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich der Verlauf des Abspannseils im Modell mit einem Funktionsterm beschreiben.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche liegen.

Teilaufgabe b)

Nun geht es um den mittleren Brückenabschnitt. Der Verlauf des Tragseils wird im Modell durch folgenden Funktionsterm dargestellt:

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$

beschrieben.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ zur Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke passt.

(2)

Zwei Halteseile im mittleren Brückenabschnitt sind jeweils so lang wie $\frac{643061}{64000}\text{ m } [\approx 10{,}00\text{ m}]$.

Berechnen Sie, an welchen Stellen in der Realität sich diese Halteseile befinden.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils, die horizontal 40 m voneinander entfernt sind und sich in der Höhe um 5 m unterscheiden.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich die $x$-Koordinate des höheren Punkts im Modell bestimmen lässt.