Aufgabe A3 - c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

c) Gegeben ist eine auf $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $f$, die nicht linear ist, mit der ersten Ableitungsfunktion $f'$ und der zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2) = 0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

Abbildung 1 zeigt die Positionen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$.

(1)

Begründen Sie, dass $f$ mindestens den Grad 3 besitzt.

(2)

Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen von $f$ in Abbildung 1.