Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (1)-(3) · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Abbildung 1 stellt die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dar. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Oben an jedem Pfeiler sind das Tragseil des mittleren Abschnitts sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der horizontalen Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Für den rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke eine Gesamtlänge von $640\text{ m}$ hat. Geben Sie hierfür die Nullstelle $x$ der Funktion $r$ an:

(2)

Auch für den linken Abschnitt der Brücke lässt sich der Verlauf des Abspannseils im Modell mit einem Funktionsterm beschreiben. Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ und das Intervall $[x_{\min}; x_{\max}]$ an, auf dem dieser Term das Abspannseil darstellt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über die Wasseroberfläche hinausragen.