Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.

Im Sachzusammenhang spielt außer $f$ auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

a) (1)

Nennen Sie die Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge null beträgt, und begründen Sie mithilfe des Aufbaus des Funktionsterms von $f$, dass keine weiteren derartigen Zeitpunkte existieren.

a) (7)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt im Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr, an dem die Staulänge um 0,5 km kleiner ist als eine Stunde zuvor.

b) (3)

Auf einem Display erscheint ein Stau, der um 06:00 Uhr begonnen hat. Zur Modellierung dieses Staus nutzt die Software die Parameter $a = 2{,}4$ und $b = 12$.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die prognostizierte Staulänge nach dem Entstehen des Staus zum ersten Mal 10 Kilometer erreicht.