Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Haupttermin · GTR

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x) = x^3 - 6\cdot x^2 + 3\cdot x + 10,\quad x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x) = -6\cdot x + 10,\quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte haben.

(2)

Der Punkt $P(3\mid f(3))$ gehört zu den gemeinsamen Punkten der Graphen von $f$ und $g$.

Zeigen Sie: Im Punkt $P$ ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 3\cdot x^2 - 12,\quad x \in \mathbb{R}.$$

(i)

Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

(ii)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das der Graph von $f$ und die $x$-Achse miteinander einschließen.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie, dass $f'(x) = x \cdot (x + 2) \cdot e^x$ gilt.

(2)

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $f$ sowie deren Art (z. B. mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums).

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) Betrachtet werden die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ und die Gerade $h$, die durch die Punkte $A(4|0|0)$ und $B(5|1|b)$ mit reellem $b$ verläuft.

(1)

Begründen Sie, weshalb der Punkt $A$ nicht auf $g$ liegt.

(2)

Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich in einem Punkt. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $b$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e) Betrachtet werden die Punkte $A(-1|3|2)$, $B(1|2|4)$ und $C(2|4|-1)$.

(1)

Untersuchen Sie, ob das Dreieck $ABC$ bei $A$ einen rechten Winkel hat.

(2)

Die Gerade $g$ verläuft durch $A$ und $B$. Auf $g$ liegen die Punkte $P$ und $Q$, die jeweils $9\text{ LE}$ von $A$ entfernt sind. Ermitteln Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x) = x^3 - 6\cdot x^2 + 3\cdot x + 10, \; x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x) = -6\cdot x + 10, \; x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren.

$x_1 =$

, $x_2 =$

(2)

Der Punkt $P(3 \mid f(3))$ gehört zu den gemeinsamen Punkten der Graphen von $f$ und $g$.

Zeigen Sie: Der Graph von $g$ tangiert den Graphen von $f$ im Punkt $P$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 3\cdot x^2 - 12, \; x \in \mathbb{R}.$$

(i)

Berechnen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f$.

$x_1 =$

, $x_2 =$

(ii)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.

FE

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

(1)

Zeigen Sie, dass gilt: $f'(x) = x \cdot (x + 2) \cdot \mathrm{e}^x$.

(2)

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $f$ sowie deren Art (z. B. mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums).

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) (1) Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 1-1 bis 1-3 zeigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A$, $B$ und $C$. Es gilt jeweils $n = 10$. Zu jeder Zufallsgröße gehört eine der Wahrscheinlichkeiten $p_1 = 0{,}2$, $p_2 = 0{,}4$ und $p_3 = 0{,}8$.

Ordnen Sie jedem der Histogramme I bis III die Wahrscheinlichkeit zu, die dazu passt.

I:

II:

III:

(2) Die Zufallsgröße $X$ ist ebenfalls binomialverteilt mit $n = 10$.

In Abbildung 2 ist das Histogramm der Verteilung unvollständig abgebildet.

Es gilt: $P(X \ge 4) \approx 0{,}35$.

(i)

Ermitteln Sie näherungsweise den Wert der Wahrscheinlichkeit $P(X \le 2)$.

(ii)

Ermitteln Sie näherungsweise den Wert der Wahrscheinlichkeit $P(X = 3)$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e)

(1) Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p = 0{,}2$. Die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ beträgt $\sigma = 1{,}2$.

Berechnen Sie $n$.

(2) Eine Urne enthält $2$ schwarze und $8$ weiße Kugeln. Es wird neunmal mit Zurücklegen jeweils eine Kugel aus der Urne gezogen.

(i)

Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass genau zwei der gezogenen Kugeln schwarz sind.

(ii)

Beschreiben Sie im Sachkontext der Aufgabe ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich ergibt zu $0{,}2^2 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^4$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x) = x^3 - 6\cdot x^2 + 3\cdot x + 10, \; x \in \mathbb{R},$$

$$\text{und}$$

$$g(x) = -6\cdot x + 10, \; x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren.

(2)

Der Punkt $P(3\mid f(3))$ gehört zu den gemeinsamen Punkten der Graphen von $f$ und $g$.

Zeigen Sie: Der Graph von $g$ stellt die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ dar.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

b) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = 3\cdot x^2 - 12, \; x \in \mathbb{R}.$$

(i)

Berechnen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f$.

(ii)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ und die $x$-Achse miteinander einschließen.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie, dass $f'(x) = x \cdot (x + 2) \cdot e^x$ gilt.

(2)

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $f$ sowie deren Art (z. B. mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums).

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) Betrachtet werden die Gerade

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \text{mit } s \in \mathbb{R}$$

und die Gerade $h$, die durch die Punkte $A(4 \mid 0 \mid 0)$ und $B(5 \mid 1 \mid b)$ verläuft, wobei $b$ eine reelle Zahl ist.

(1)

Begründen Sie, dass der Punkt $A$ kein Punkt der Geraden $g$ ist.

(2)

$g$ und $h$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $b$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e)

(1)

Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 1-1 bis 1-3 zeigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A$, $B$ und $C$. Es gilt jeweils $n = 10$. Zu jeder Zufallsgröße gehört eine der Wahrscheinlichkeiten $p_1 = 0{,}2$, $p_2 = 0{,}4$ und $p_3 = 0{,}8$.

Ordnen Sie jedem der Histogramme I bis III die dazu passende Wahrscheinlichkeit zu.

Histogramm I:

Histogramm II:

Histogramm III:

(2)

Die Zufallsgröße $X$ ist ebenfalls binomialverteilt mit $n = 10$.

Abbildung 2 zeigt das Histogramm dieser Verteilung, das nicht vollständig ist.

Bekannt ist: $P(X \ge 4) \approx 0{,}35$.

(i)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 2)$ als Näherungswert.

(ii)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit $P(X = 3)$ als Näherungswert.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Funktionen $p$, $q$ und $h$

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, den die Graphen von $p$ und $q$ gemeinsam haben, und er befindet sich auf der $y$-Achse. Die erste Ableitung von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Außerdem sei die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ gegeben.

Modellierung des Bewässerungskanals (Funktion $w$)

Ein Bewässerungskanal nimmt seinen Betrieb auf, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beginn der Beobachtung und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

a) (1)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich aus dem Graphen von $q$ der Graph von $q'$ gewinnen lässt.

c) (1)

Es gilt $w(x) \to c$ für $x \to \infty$. Geben Sie den Wert von $c$ an und deuten Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Funktionen $p$, $q$ und $h$

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, den die Graphen von $p$ und $q$ gemeinsam haben, und er befindet sich auf der $y$-Achse. Die erste Ableitung von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Außerdem sei die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ gegeben.

Modellierung des Bewässerungskanals (Funktion $w$)

Ein Bewässerungskanal nimmt seinen Betrieb auf, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beginn der Beobachtung und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

a) (2)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine Tangente teilen, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.

b) (2) (i)

Zeigen Sie: $h'(x) = (-x^2 + 3x) \cdot e^{-x}$.

b) (2) (ii)

Berechnen Sie die Koordinaten beider Extrempunkte des Graphen von $h$ und den Abstand zwischen diesen Punkten.

b) (3)

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ bilden ein Rechteck $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Ermitteln Sie, welcher Anteil der Rechtecksfläche auf das schraffierte Teilstück entfällt.

c) (2)

Die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ stimmt an zwei Stellen mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ überein. Ermitteln Sie eine dieser Stellen.

c) (3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Sekunden ab Beobachtungsbeginn, an dem die momentane Durchflussrate am schnellsten sinkt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Funktionen $p$, $q$ und $h$

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, den die Graphen von $p$ und $q$ gemeinsam haben, und er befindet sich auf der $y$-Achse. Die erste Ableitung von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Außerdem sei die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ gegeben.

Modellierung des Bewässerungskanals (Funktion $w$)

Ein Bewässerungskanal nimmt seinen Betrieb auf, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beginn der Beobachtung und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

a) (3)

Geben Sie den Wert des Integrals $\int_0^2 (q(x) - p(x))\,\mathrm{d}x$ an und interpretieren Sie dessen Bedeutung in geometrischer Hinsicht.

b) (1)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $h$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

c) (4) (i)

Bestimmen Sie, welche Wassermenge in den ersten zwei Sekunden nach Beobachtungsbeginn die Messstelle passiert.

c) (4) (ii)

Die Gleichung $\int_t^{t+3} w(x)\,\mathrm{d}x = 13$ besitzt für $t \ge 0$ die Lösungen $t_1 \approx 0{,}8$ und $t_2 \approx 4{,}4$. Interpretieren Sie, was diese beiden Lösungen im Sachzusammenhang bedeuten.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor; lediglich die Abfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der oben genannten Reihenfolge aus, ergibt sich der Graph der betrachteten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14.$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort dar, beginnend an einem bestimmten Tag des Kalenderjahres.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\ a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Teilaufgabe a) (1)

Begründen Sie, warum $G_f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt verläuft.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen $G_f$ die Koordinatenachsen schneidet.

Teilaufgabe b)

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder Schritt kommt genau einmal vor, lediglich die Reihenfolge ist variabel. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Geben Sie an, wie viele unterschiedliche neue Graphen sich auf diese Weise aus $G_f$ erzeugen lassen. Begründen Sie Ihre Angabe.

Teilaufgabe c) (1)

Ermitteln Sie, für welche Dauer die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort im Lauf eines Jahres oberhalb von $15^\circ\text{C}$ liegt.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor; lediglich die Abfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der oben genannten Reihenfolge aus, ergibt sich der Graph der betrachteten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14.$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort dar, beginnend an einem bestimmten Tag des Kalenderjahres.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\ a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Teilaufgabe a) (3)

Der Graph $G_f$ besitzt zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass es sich bei einem davon um einen Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ handelt.

Teilaufgabe a) (4)

Bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente $t$, die $G_f$ im Punkt $P(6 \mid f(6))$ berührt.

Teilaufgabe c) (2)

Geben Sie die Stelle an, an der $g$ einen Wendepunkt hat.

Beschreiben Sie, was diese Wendestelle für den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur bedeutet.

Teilaufgabe c) (3)

Die folgenden Rechnungen stellen zusammen mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe in einem Sachzusammenhang dar:

$$g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 6 - \sqrt{12} \;\lor\; x = 6 + \sqrt{12}$$

$$g(6 + \sqrt{12}) - g(6 - \sqrt{12}) \approx 6{,}2$$

Geben Sie eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den gezeigten Lösungsweg.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor; lediglich die Abfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der oben genannten Reihenfolge aus, ergibt sich der Graph der betrachteten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14.$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort dar, beginnend an einem bestimmten Tag des Kalenderjahres.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\ a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Teilaufgabe a) (2)

Für jedes $b \in \mathbb{R}$, $b > 0$, gilt $\int_{-b}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$. Erklären Sie dieses Ergebnis.

Teilaufgabe a) (5)(i)

Außer dem Punkt $P$ besitzen die Tangente $t$ und $G_f$ nur noch den gemeinsamen Punkt $Q(-12 \mid f(-12))$.

Geben Sie die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x) = f(x) - \left(\frac{8}{3}x - 16\right)$ an und berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von $G_f$ und $t$ eingeschlossen wird.

Teilaufgabe a) (5)(ii)

Die $y$-Achse teilt die Fläche, die $G_f$ und $t$ einschließen, in zwei Teilflächen.

Ermitteln Sie, welchen Anteil die linke Teilfläche an der gesamten Fläche zwischen $G_f$ und $t$ hat.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor; lediglich die Abfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der oben genannten Reihenfolge aus, ergibt sich der Graph der betrachteten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14.$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort dar, beginnend an einem bestimmten Tag des Kalenderjahres.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\ a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Teilaufgabe c) (4)(i)

Abbildung 2 zeigt modellhaft, wie sich die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres entwickelt.

Begründen Sie, weshalb eine ganzrationale Funktion, die den in Abbildung 2 gezeigten Verlauf modelliert, mindestens vom Grad 4 sein sollte.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor; lediglich die Abfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der oben genannten Reihenfolge aus, ergibt sich der Graph der betrachteten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14.$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort dar, beginnend an einem bestimmten Tag des Kalenderjahres.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\ a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Zur Modellierung des Verlaufs dient eine ganzrationale Funktion $h$ mit $$h(x) = a\cdot x^4 + b\cdot x^3 + c\cdot x^2 + d\cdot x + e, \quad x\in\mathbb{R}, \; a,b,c,d,e\in\mathbb{R}$$. Dabei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangen ist, und $h(x)$ für die Tagesdurchschnittstemperatur in °C.

(4) (ii)

Die Funktion $h$ soll bei der Modellierung diese Bedingungen erfüllen:

Bei $x = 1$ tritt die niedrigste Tagesdurchschnittstemperatur auf, bei $x = 7$ die höchste mit $17^\circ\text{C}$. Bei $x = 10{,}5$ sinkt die Tagesdurchschnittstemperatur am schnellsten, und zwar mit einer Rate von $-4{,}2^\circ\text{C}$ pro Monat.

Stellen Sie anhand dieser Bedingungen ein Gleichungssystem auf, mit dem sich $a$, $b$, $c$, $d$ und $e$ berechnen lassen.

[Die Werte müssen nicht berechnet werden.]

Ihre Antwort wurde erfasst. Vergleichen Sie Ihre Bedingungen mit der Musterlösung unten.

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Eigenschaften auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, das ein Architekturbüro für die Planung eines neuen Hotels aus drei gleich geformten Gebäuden verwendet (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Draufsicht dargestellt. Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

a)

(1) Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt. [1 Punkt]

(2) Begründen Sie, warum es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$. [4 Punkte]

(3) Berechnen Sie die Größe des Winkels, den $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}$ einschließen. [2 Punkte]

°

b)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

(1) Ermitteln Sie durch Rechnung, welche Koordinaten der Punkt $P$ hat. [4 Punkte]

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

(2) Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$. [2 Punkte]

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Eigenschaften auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, das ein Architekturbüro für die Planung eines neuen Hotels aus drei gleich geformten Gebäuden verwendet (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Draufsicht dargestellt. Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

c)

(1) Begründen Sie, dass es sich bei $$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -40 \\ 10 \\ 30 \end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}$$ um diejenige Ebene handelt, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält. [3 Punkte]

(2) Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast, dessen Spitze den Punkt $S(0|0|35)$ bildet. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung $$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$ ein.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt. [4 Punkte]

Ja

Nein

Aufgabenstellung

Mitarbeitende eines Instituts für Tourismus befragten repräsentativ 10 000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gefahren waren.

Das Ergebnis: 26 % der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei 16 % davon reiste man mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) nutzten 10 % der Reisenden zur Anreise die Bahn.

Diese Prozentwerte sollen im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse gelten.

a) (1)

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [3 Punkte]

a) (2)

Für eine Urlaubsreise im Jahr 2019 wurde die Bahn als Anreisemittel gewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Reise eine Inlandsreise war. [2 Punkte]

Aufgabenstellung

Mitarbeitende eines Instituts für Tourismus befragten repräsentativ 10 000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gefahren waren.

Das Ergebnis: 26 % der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei 16 % davon reiste man mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) nutzten 10 % der Reisenden zur Anreise die Bahn.

Diese Prozentwerte sollen im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse gelten.

Zusätzlich zur Befragung sollen Interviews stattfinden. Hierfür werden zufällig 20 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen herausgegriffen und die Befragten interviewt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele der 20 Urlaubsreisen Inlandsreisen sind.

b) (1)

Erläutern Sie, aus welchem Grund man $P(X = k)$ für $0 \le k \le 20$ näherungsweise mithilfe einer Binomialverteilung berechnen darf. [2 Punkte]

b) (2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind. [2 Punkte]

b) (3)

Bestimmen Sie bezogen auf die 20 Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Inlandsreisen innerhalb der $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt. [4 Punkte]

c)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Fragebögen, die ausgewählt werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\ \%$ mindestens fünf der Fragebögen eine Auslandsreise angeben. [3 Punkte]

Aufgabenstellung

Mitarbeitende eines Instituts für Tourismus befragten repräsentativ 10 000 Personen aus einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchem Verkehrsmittel sie zu welchem Reiseziel gefahren waren.

Das Ergebnis: 26 % der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei 16 % davon reiste man mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) nutzten 10 % der Reisenden zur Anreise die Bahn.

Diese Prozentwerte sollen im Weiteren als Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse gelten.

Im Institut für Tourismus vermutet das Team, dass in der Region der Anteil der Inlandsreisen 2022 gegenüber 2019 gestiegen ist. Um dies zu untersuchen, wird für 100 Reisen aus dem Jahr 2022 festgehalten, ob es eine Inlands- oder eine Auslandsreise war. Liegen mindestens 34 Inlandsreisen vor, nimmt das Team an, dass der Anteil der Inlandsreisen gestiegen ist.

d) (1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Team irrtümlich einen gestiegenen Anteil der Inlandsreisen annimmt, obwohl der Anteil gleich geblieben ist. [2 Punkte]

d) (2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Team einen unveränderten Anteil der Inlandsreisen annimmt, obwohl dieser in Wirklichkeit auf 30 % gestiegen ist. [2 Punkte]

In Abbildung 1 ist die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dargestellt. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern liegen 400 m. Die Fahrbahn befindet sich 20 m über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Das jeweilige Ende der Fahrbahn dient als Verankerung der beiden Abspannseile.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für 10 m in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse folgt in der Seitenansicht der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse der Symmetrieachse der Brücke.

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$dargestellt.

Der Verlauf des Tragseils im mittleren Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

a) Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den folgenden Funktionsterm dargestellt:

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$

beschrieben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Fahrbahn der Brücke $640\text{ m}$ beträgt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich der Verlauf des Abspannseils im Modell mit einem Funktionsterm beschreiben.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie weit die Pfeiler aus dem Wasser herausragen.

b) Nun wird der mittlere Brückenabschnitt untersucht. Der Verlauf des Tragseils wird im Modell durch den folgenden Funktionsterm beschrieben:

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$

beschrieben.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ mit der Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke vereinbar ist.

(2)

Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen horizontal $40\text{ m}$ auseinander und unterscheiden sich in der Höhe um $5\text{ m}$.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich im Modell die $x$-Koordinate des höher gelegenen Punkts bestimmen lässt.

In Abbildung 1 ist die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dargestellt. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern liegen 400 m. Die Fahrbahn befindet sich 20 m über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Das jeweilige Ende der Fahrbahn dient als Verankerung der beiden Abspannseile.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für 10 m in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse folgt in der Seitenansicht der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse der Symmetrieachse der Brücke.

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$dargestellt.

Der Verlauf des Tragseils im mittleren Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

a) Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils näherungsweise mit dem Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$

modelliert.

(4)

Weisen Sie die folgende Gleichung nach:

$$r'(x) = -\frac{23}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)}$$

(5)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung des rechten Abspannseils an der Stelle, an der es auf den zugehörigen Pfeiler trifft, im Bereich zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegt.

Liegt der Wert zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$?

Ja

Nein

In Abbildung 1 ist die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dargestellt. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern liegen 400 m. Die Fahrbahn befindet sich 20 m über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Das jeweilige Ende der Fahrbahn dient als Verankerung der beiden Abspannseile.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für 10 m in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse folgt in der Seitenansicht der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse der Symmetrieachse der Brücke.

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$dargestellt.

Der Verlauf des Tragseils im mittleren Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

a) (6) Der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn schließen in der Seitenansicht gemeinsam eine Fläche ein.

Ermitteln Sie den tatsächlichen Flächeninhalt dieser Fläche.