Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist dabei so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Die $x_3$-Achse geht zudem durch die Schnittpunkte der Diagonalen beider Quadrate. Die Seitenlänge der Deckfläche beträgt 4.

Gegeben sind $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$$A_1(4|4|0),\; A_2(-4|4|0),\; A_4(4|-4|0),$$

$$B_1(-2|2|10),\; B_2(-2|-2|10),\; B_3(2|-2|10),\; B_4(2|2|10).$$

b)

(1) Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Stellen Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Parameterform auf.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

Ja

Nein

c)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ liegt in der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ liegt in der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.