Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $$f(x)=(x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Berechnen Sie die Tangentengleichung für den Graphen von $f$ im Punkt $P(-1 \mid f(-1))$, wobei Sie keine am Funktionsgraphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge benutzen dürfen.

Der Graph von $f$ hat genau eine Extremstelle sowie drei Wendestellen.

a) (2)

Berechnen Sie die Wendestellen von $f$ und runden Sie auf drei Nachkommastellen.

$x_{W1} =$

$x_{W2} =$

$x_{W3} =$

Für $z > 0$ liegt der Punkt $P_z(z \mid f(z))$ auf dem Graphen von $f$. Zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ und dem Punkt $Q_z(z \mid 0)$ bildet er das Dreieck $OP_zQ_z$.

a) (3)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$ für den Fall, dass $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ ist.

Teilaufgabe b (3) (iii)

b) (3) (iii)

Die Punkte $O(0 \mid 0)$, $N(-5 \mid 0)$, $Y(0 \mid -5)$ spannen das Dreieck $ONY$ auf. Ermitteln Sie die beiden Punkte des Graphen von $f$, in denen die Tangente zur Seite $\overline{NY}$ parallel ist.

$x_{B1} =$

$y_{B1} =$

$x_{B2} =$

$y_{B2} =$

Teilaufgabe c (3)

Die Ableitungsfunktion $f_k'$ der Schar $f_k(x) = (x^3 + k)\cdot e^x$ lautet: $$f_k'(x) = (x^3 + 3x^2 + k)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}; \, k \in \mathbb{R}.$$ Um zu untersuchen, wie die Anzahl der Extremstellen von $f_k$ vom Parameter $k$ abhängt, betrachtet man die Nullstellen der Funktion $h_k$ mit $h_k(x) = x^3 + 3x^2 + k$.

In Abbildung 5 ist der Graph der Funktion $h_0$ (also $k = 0$) dargestellt.

c) (3) (i)

Geben Sie mithilfe von Abbildung 5 an, wie viele Nullstellen die Funktion $h_k$ je nach Parameter $k$ hat. (Die Nullstellen sollen nicht mit dem Taschenrechner berechnet werden.)

Bedingung für $k$

Anzahl der Nullstellen von $h_k$

$k > 0$ oder $k < -4$

$k = 0$ oder $k = -4$

$-4 < k < 0$

c) (3) (ii)

Begründen Sie, dass die folgenden drei Aussagen zutreffen:

S1: Für jedes $k > 0$ hat die Funktion $f_k$ genau eine Extremstelle.

S2: Es gibt keine Funktion $f_k$, die mehr als drei Extremstellen hat.

S3: Es gibt keine Funktion $f_k$, die genau zwei Extremstellen hat.