Aufgabe B5 - Graphen deuten · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern einige Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung zu sehen. Anhand der Aufnahmen wird entschieden, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \le x \le 5$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

c)

Ein Arzt erwägt, anstelle des Cobb-Winkels zwischen den Tangenten in den Wendepunkten den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Rändern der Wirbel zu betrachten, auf denen die Wendepunkte liegen.

Dabei wird anstelle der Tangente in $W_1$ die Tangente im Punkt $P_1$ genommen, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Entsprechend dient anstelle der Tangente in $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 5).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob der Winkel durch diese Änderung größer oder kleiner wird.

[2 Punkte]