Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor; lediglich die Abfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der oben genannten Reihenfolge aus, ergibt sich der Graph der betrachteten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14.$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort dar, beginnend an einem bestimmten Tag des Kalenderjahres.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\ a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Teilaufgabe a) (1)

Begründen Sie, warum $G_f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt verläuft.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen $G_f$ die Koordinatenachsen schneidet.

Teilaufgabe b)

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder Schritt kommt genau einmal vor, lediglich die Reihenfolge ist variabel. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Geben Sie an, wie viele unterschiedliche neue Graphen sich auf diese Weise aus $G_f$ erzeugen lassen. Begründen Sie Ihre Angabe.

Teilaufgabe c) (1)

Ermitteln Sie, für welche Dauer die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort im Lauf eines Jahres oberhalb von $15^\circ\text{C}$ liegt.