Aufgabe 1 (WTR 1) - Längen, Winkel und Abstände i… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2023

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|4|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|4)$, $F(5|0|4)$, $G(5|3|3)$ und $H(0|3|3)$ beschrieben. Das Viereck EFGH stellt das Glasdach dar, das Viereck ABFE eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

a)

Begründen Sie, dass das Viereck BCGF ein Drachenviereck ist. [3 BE]

c)

Die Ebene $L$, in der die Punkte $A$, $B$ und $G$ liegen, hat die Gleichung $x_2 - x_3 = 0$. Begründen Sie, dass die Ebene $L$ eine Symmetrieebene des Körpers $ABCDEFGH$ ist. [3 BE]

d)

Die beiden folgenden Rechnungen I und II liefern das Volumen des Anbaus:

$$\text{I } 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\cdot 5 = 60 \qquad \text{II } 3\cdot 5\cdot 4 = 60$$

Erläutern Sie für eine der beiden Rechnungen den zugrunde liegenden Gedankengang. [2 BE]

e)

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

cm/s

f)

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

°