Aufgabe B3 - Extremwertaufgabe · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper in der Draufsicht zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

d) $H_1$ ist der Punkt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe $h$, $0 < h \le 10$.

Die Punkte $H_1H_2H_3H_4$ bilden in jeder Höhe $h$, $0 < h \le 10$, ein Quadrat. Der Flächeninhalt $F(h)$ des Quadrates $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ beträgt

$$F(h) = \frac{4}{5}h^2 - \frac{64}{5}h + 64.$$

(3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt besitzt.