Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils sind jeweils am oberen Pfeilerende befestigt. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im gewählten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Teilaufgabe a)

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell mit dem Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$

dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die gesamte Länge der Fahrbahn der Brücke 640 m beträgt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich der Verlauf des Abspannseils im Modell mit einem Funktionsterm darstellen.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.

(4)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen des rechten und des linken Abspannseils an der Stelle, an der sie jeweils auf ihren Pfeiler treffen, zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen.

Befinden sich die Steigungen beider Seile betragsmäßig innerhalb des vorgegebenen Bereichs zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$?

Ja

Nein

(5)

In der Seitenansicht schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück ein.

Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in der Realität.

Teilaufgabe b)

Nun wird der mittlere Brückenabschnitt untersucht. Senkrechte Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Ihr horizontaler Abstand zu den Pfeilern und zueinander beträgt jeweils $16\text{ m}$.

Den Verlauf des Tragseils beschreibt im Modell der Funktionsterm

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$

.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ mit der Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke vereinbar ist.

(2)

Zwei Halteseile im mittleren Brückenabschnitt sind jeweils $\frac{643061}{64000}\text{ m} \approx 10{,}00\text{ m}$.

Berechnen Sie, an welchen Stellen in der Realität sich diese Halteseile befinden.

Geben Sie zudem an, das wievielte Halteseil von der Brückenmitte aus gezählt diese Seile jeweils sind.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils horizontal $40\text{ m}$ auseinander und unterscheiden sich in der Höhe um $5\text{ m}$.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich im Modell die $x$-Koordinate des höheren Punkts bestimmen lässt.

(4)

Geben Sie an, was der Term

$$(s(-20 + 1{,}6\cdot 1) + s(-20 + 1{,}6\cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6\cdot 23) + s(-20 + 1{,}6\cdot 24))\cdot 10$$

im Sachzusammenhang bedeutet, und begründen Sie Ihre Angabe.