Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Teilaufgabe a

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto e^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, in dem sich die Graphen von $p$ und $q$ treffen; er liegt auf der $y$-Achse. Die erste Ableitungsfunktion von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Teilaufgabe b

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x}$.

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ sind die Eckpunkte eines Rechtecks $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Teilaufgabe c

Ein Bewässerungskanal wird in Betrieb genommen, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$ den zeitlichen Verlauf der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Der Graph von $w$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Teilaufgabe a (1)

Für die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ gilt für die erste Ableitungsfunktion $q'(x) = -q(x)$.

Beschreiben Sie, durch welche Transformation sich der Graph von $q'$ aus dem Graphen von $q$ ergibt.

Teilaufgabe c (1)

Für $x \to \infty$ gilt $w(x) \to c$.

Geben Sie sowohl den Wert $c$ als auch dessen Bedeutung im Sachzusammenhang an.

Wert $c$: